局所マルコフ性と忠実性

よく分からない注

パール『入門統計的因果推論』でDAG上のノードの従属性について説明している箇所に，「$Y$が$X$の影響を受けるのに，$X$と$Y$が独立になる」という意味の注があって，しばらく意味が分からないまま放置していた．

別の文献で忠実性についての説明を読んでいるうちに，これは

DAG上では依存関係があるように見えるし，構造的因果モデルもそのように定義しているけれど，$X$と$Y$が独立になるという，やや特殊な関数例が存在すること

について言及しているのだと思うに至った．例のごとく，何かに記録しても，どこに書いたかすぐ忘れるのでここにmemoを残しておきます．

内容

注の内容は以下の通りである

$X, U_Y$が正常なコインで，$X=U_Y$が$Y=1$と同値であるとき，$P(Y=1 \mid X=1)=P(Y=1)$等が成立し，$X$と$Y$が独立になる場合がある．でも特殊なケースなのでそれほど気にしなく良い

とまあ，こんな感じである．これだけだと訳が分からないので，著者が言いたいであろうことを補足してみる

予想

$X, U_Y$が正常なコインで

の部分は，まあ $$ X \sim Bern(0.5), U_Y \sim Bern(0.5) $$ くらいの意味であろう．

構造的因果モデルは $$X=U_X $$ $$Y=f_y(X, U_Y) $$ でDAGは

$$X \to Y$$

と仮定する．外生変数同士は独立なので$X \perp U_Y$である．さて$Y$の定義であるが，「$X=U_Y$が$Y=1$」と同値とあるので，これを

もし$(X=1,U_Y=1)$か$(X=0,U_Y=0)$なら,そのとき$Y=1$
もし$(X=1 U_Y=0)$か$(X=0,U_Y=1)$なら,そのとき$Y=0$

と解釈する．つまりこれが構造的因果モデルのモジュール$f_y$の陽表的表現である．このXOR型関数は，この種の例としては定番なのかもしれない．別の本で見たような気がしないでもない．

ともあれ，条件付き確率は $$p(Y=1 \mid X=1)=p(Y=1, X=1)/P(X=1)=0.25/0.5=0.5=p(Y=1)$$ $$p(Y=0 \mid X=1)=p(Y=0, X=1)/P(X=1)=0.25/0.5=0.5=p(Y=0)$$ $$p(Y=1 \mid X=0)=p(Y=1, X=0)/P(X=0)=0.25/0.5=0.5=p(Y=1)$$ $$p(Y=0 \mid X=0)=p(Y=0, X=0)/P(X=0)=0.25/0.5=0.5=p(Y=0)$$

となるから，独立性の定義を満たし，$X \perp Y$である．構造的因果モデルの定義より，「YはXの影響を受けるがXとYは独立」が確かに成立する